六上数学：长方体、正方体经典题详解详析

例1、一个长方体，如果把它的长增加3厘米，宽和高保持不变，那么它的体积增加108立方厘米；如果把它的宽减少5厘米，长和高保持不变，那么它的体积减少375立方厘米；如果把它的高增加6厘米，长和宽保持不变，那么它的体积增加288立方厘米。求原长方体的表面积和体积各是多少。

分析：①设原长方体的长、宽、高分别为a厘米，b厘米，c厘米。

在长增加3厘米，宽和高不变的情况下，相当于在原长方体的沿着长度的方向增加了一个长3厘米、宽b厘米、高c厘米的长方体的体积，即3bc＝108，解得bc＝36平方厘米；

同理，在宽减少5厘米、保持长和高不变的情况下，由题意可得：

5ac＝5×ac＝375，解得ac＝75平方厘米；

在高增加6厘米，长和宽保持不变的情况下，由题意可得：

6ab＝288，解得ab＝48平方厘米。

所以原长方体的表面积为：

2（ab＋bc＋ac）

＝2（48＋75＋36）

＝318平方厘米。

②由上题可知：

（ab）×（bc）×（ac）

＝48×75×36

＝2×2×2×2×3×3×5×5×2×2×3×3

＝8×8×9×9×5×5

＝（5×8×9）＾2

＝360＾2

＝（abc）＾2

所以体积V＝abc＝360立方厘米。

例2、一个封闭的长方体容器，长30cm、宽20cm、高12cm，里面的水深8cm，现在如果把这个容器翻转并竖立起来，使该长方体容器的高为30厘米，那么此时里面的水深应该是多少厘米?若使该长方体容器的高为20厘米，此时的水深又该是多少厘米呢？

分析：这类题目属于等体积变形，抓住体积不变来计算。这个题中体积不变的是长方体内的水。

所以，变化前长方体容器中水的体积＝变化后长方体容器中水的体积。

水深＝长方体容器中水的体积÷底面积。

要注意的是不同放置方式时，长方体容器的底面积是不同的。

①解：30×20×8÷20÷12＝20（厘米）

此时该长方体容器中水深为20厘米。

②30×20×8÷30÷12＝40／3（厘米）。

此时该长方体容器中水深为40／3厘米。

解法二：

因为该长方体容器的体积是不会变化的，而且该长方体容器中水的体积也不会变化的，那么水的体积与长方体容器的体积比也不会变化，所以容器中水的深度与该长方体容器不同放置时的高的比值是不变的，即水深与高的比值为8：12＝2／3。

①30×（8÷12）＝20（厘米）

此时水深20厘米。

②20×（8÷12）＝40／3厘米。